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[转载]matlab_最小二乘法数据拟合 - a往南向北

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[转载]matlab_最小二乘法数据拟合

2018-10-14 12:22  a往南向北  阅读(7967)  评论(0编辑  收藏  举报

原文地址:matlab_最小二乘法数据拟合作者:彭国民

定义:

最小二乘法(又称最小平方法)是一种数学优化技术。它通过最

小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可

以简便地求得未知的数据,并使得这些求得的数据与实际数据之

间误差的平方和为最小。最小二乘法还可用于曲线拟合。其他一

些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表

最小二乘法原理:
    在我们研究两个变量(x,y)之间的相互关系时,通常可以得到一系列成对的数据(x1,y1.x2,y2... xm,ym);将这些数据描绘在x -y直角坐标系中,若发现这些点在一条直线附近,可以令这条直线方程如(式1-1)。
 
  Yj= a0 + a1 X (式1-1)
 
  其中:a0、a1 是任意实数
1.多项式曲线拟合:polyfit
  1.1常见拟合曲线:
 
      直线:    y=a0X+a1
       多项式:
               一般次数不易过高2 3
           双曲线:  y=a0/x+a1
       指数曲线: y=a*e^b
    1.2 matlab中函数
            P=polyfit(x,y,n)
     [P S mu]=polyfit(x,y,n)
       polyval(P,t):返回n次多项式在t处的值
  注:其中x y已知数据点向量分别表示横纵坐标,n为拟合多项
     式的次数,结果返回:P-返回n次拟合多项式系数从高到低
     依次存放于向量P中,S-包含三个值其中normr是残差平方
     和, mu-包含两个值 mean(x)均值,std(x)标准差。
1.3举例
 1. 已知观测数据为:
 X:0    1    2    3    4    5    6    7    8    9   1
 Y:-0.447  1.987  3.28   6.16     7.08   7.34   7.66   9.56    9.48    9.3  11.2

 用三次多项式曲线拟合这些数据点:

x=0:0.1:1
    y=[-  

0.447,1.978,3.28,6.16,7.08,7.34,7.66,9.56,9.48,9.3,11.

2]
   plot(x,y,\'k.\',\'markersize\',25)

 hold on
   axis([0 1.3 -2 16])
   p3=polyfit(x,y,3)

 t=0:0.1:1.2:

 S3=polyval(P3,t);

 plot(t,S3,\'r\');

        
 2.拟合为指数曲线

   

   


  注:在对已测数据不太明确满足什么关系时,需要假设为多种曲

  线拟合然后比较各自的residal(均方误差)越小者为优,

  多项式拟合不是拟合次数越高越好,而是残差越小越好。

  2.非线性曲线拟合:lsqcurvefit

X=lsqcurvefit(fun,X0,xdata,ydata)

[X,resnorm]=lsqcurvefit(fun,X0,xdata,ydata)

注:其中xdata ydata为给定数据横纵坐标,按照函数文件fun

    给定的函数以X0为初值做最小乘二拟合,返回函数fun中的

    系数向量X和残差的平方和resnorm。

2.1例如

 已知观测数据:   
求三个参数a b c的值是的曲线f(x)=a*e^x+b*X^2+c*X^

已知数据点在最小二乘意义上充分接近

 

首先编写拟合函数文件fun

function f=fun(X,xdata)

f=X(1)*exp(xdata)+X(2)*xdata.^2+X(3)*xdata.^3

保存文件fun.m

 

编写函数调用拟合函数文件

xdata=0:0.1:1;

ydata=[3.1 3.27 3.81 4.5 5.18 6 ....13.17];

X0=[0 0 0];

[X,resnorm]=lsqcurvefit(@fun,X0,xdata,ydata)

运行显示:

X=

   3.0022  4.0304  0.9404

resnorm=

   0.0912

 

综上:最小乘二意义上的最佳拟合函数为

  f(x)=3.0022x+4.0304x^2+0.9404x^3

残差平方和:0.0912

 

    

   注:在针对只有一些已测数据而不太清楚最小乘二拟合函数时,

   采取先打印出已知数据的散点图,然后观察散点图大概分布

   趋向,再确定拟合函数,也可以确定多个,最后比较残差选

   择最优最小乘二拟合函数,再者初始值的给定也很重要。

 

 lsqnonlin(fun,X0):最小二乘拟合函数

本讲结束,谢谢!


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