前言
有时候，你可能会遇到较复杂的方程(组)，希望用MATLAB来求解。MATLAB的符号运算正好可用于求解方程(组)。此外，它还有许多其他功能。例如，展开和简化、因式分解以及微积分运算等。MATLAB的符号运算虽然是数值运算的补充，但是它仍然是科学计算研究中不可替代的重要内容。与数值运算相比，符号运算不需要预先对变量赋值，其运算结果以标准的符号形式表达。比如说计算sin(π)，数值运算的结果是1.2246e-16，符号运算的结果是0。前者是近似的，后者是精确的。
正文
MATLAB符号运算功能非常强大，本文只介绍大部分常用的符号运算功能。注：本文代码的运行环境是MATLAB R2016b。
1. 创建符号数、符号变量和符号矩阵
这一步骤是符号运算的第一步，后面的步骤都是在此基础上进行的。
%创建符号数 (只能用sym函数) s0 = 1 / sym(7) %符号数，不适合大型符号数 s1 = sym(\'1/7\') %符号数 s2 = sym(\'3 + 4i\') %符号复数 %创建符号变量 (sym函数和syms函数都行) %--sym函数 s3 = sym(\'x\') %符号变量 %--syms函数 syms a b c %创建多个符号变量，值为本身 syms(sym(\'[d e; e d]\')) %用已存在的符号变量矩阵创建多个符号变量 %创建符号矩阵 (sym函数和syms函数都行) s4 = sym(\'[2 5 6; 9 8 6]\') %符号数矩阵 s5 = sym(\'x\', [2 3]) %符号变量矩阵，矩阵内的元素不会被创建为符号变量 A = [a b c; c b a] %用已存在的符号变量创建符号变量矩阵 % syms A B [2 3] %仅2017及以上版本支持，同时创建多个符号矩阵
代码运行结果如下。可以看到s5是一个2x3的符号变量矩阵，但矩阵内元素不会被创建成符号变量。
2. 创建符号表达式、符号函数
要表达一个数学函数可以用符号函数或符号表达式。
%创建符号表达式 syms x y f = x^2 + 5*x + 4 %符号表达式 subs(f, x, [2 1]) %分别将f中的x换成2和1
f2 = sym(\'x^2 + 2*x + 1 = 0\') %创建方程 k = piecewise(x <= 0, x + y, x > 0, x - y); %分段符号表达式
%更多分段符号表达式/函数的介绍详见：https://ww2.mathworks.cn/help/symbolic/piecewise.html#responsive_offcanvas %创建符号函数 %--用syms函数 syms G(x, y) F(z) %创建多个符号函数，变量名为括号前字母, 值为本身，其自变量也创建对应的符号变量 F(z) = z^2 + 5*z + 4 %符号函数 F([2 1]) %分别计算F(2)和F(1) G(x, y) = piecewise(x <= 0, x + y, x > 0, x - y); %分段符号函数，有多个条件用&&连接 %--用symfun函数 syms x y g = symfun(x^2 + y^2, [x y]) %因变量 = symfun(公式，[自变量1 自变量2]) g([2 3], [1 2]) %分别计算g(2, 1)和g(3, 2)
代码运行结果如下。从图中可以看出符号表达式与符号函数之间的区别，它们的类型不同，且计算函数值的方式的也不同。
3. 符号运算中的基本运算
符号运算是精确计算，不会产生截断误差。并且可以根据需要，给出完全的封闭解或任意精度的数值解。本节讨论符号运算中的基本运算，可分为算术运算和关系运算。
3.1. 算术运算
数值运算中的一些运算符，例如‘+’、‘-’、‘*’、‘/’、’.*‘、’./‘、‘^’等，在符号运算中也可以使用。由于比较简单，且和数值运算相同，这里不做展示。
3.2 关系运算
关系运算符在符号运算中也可以使用，包括’>‘、’>=‘、’<‘、’<=‘、’==‘、’~=‘等。但是，在符号运算中这些运算并不是用来做关系比较，而是通过这些关系运算符构建关系式，作为后续操作（例如，解方程）的限制条件。若要对两个符号式做关系比较，可以使用函数isAlways、isequal或isequaln。
%关系运算 syms x assume(x > 2); %假设x是大于2的 solve((x + 1)*(x - 1)*(x - 2)*(x - 4)*(x - 6) == 0) %在设定的条件下，解方程 %函数isAlways、isequal以及isequaln %--isAlways：判断两个符号式构成的关系比较式的真假 A1 = [x, sym(9); 2*x^2, tan(x)]; B1 = [2*x, sym(6); x^2, sin(x)/cos(x)]; res1 = isAlways(A1 > B1) %对于数组情况，分别比较相应元素，结果为同等大小的logical数组 %--isequal和isequaln：都是判断输入的两个符号式是否相等。但前者将NAN视为不相等，后者将NAN视为相等 A2 = [x+1, nan] B2 = [x+1, nan] res2 = isequal(A2, B2) res3 = isequaln(A2, B2) %对于数组情况，相应元素全部相等，返回1；反之，返回0
代码运行结果如下。
4. 符号运算的主要功能
MATLAB符号运算提供了许多数学操作，例如解方程、微积分、线性代数运算、简化、变换等。本节将简单介绍微积分、解方程以及变换，更多详细功能介绍请看官方帮助文档。
4.1 微积分
微积分是数学中非常重要的分析工具。MATALB提供了许多微积分的相关操作，这里简单介绍求极限、微分以及积分。详细功能见微积分帮助文档。
%求极限 syms x f1 = limit((exp(x) - 1) / x, x, 0) %计算x逼近0时，f的双向极限值 %微分 syms x y f2 = diff(sin(x*y), x, y) %f先对x求导，再对y求导 %积分 syms x y f3 = x / (y^2 + 1); res1 = int(f3, x) %f关于x的不定积分 res2 = int(f3, x, 1, 3) %f关于x在[1, 3]上的定积分 %changeIntegrationVariable函数：换元积分法 %integrateByParts函数：分部积分法
代码运行结果如下。
4.2 解方程
利用MATALB可以求解多种方程（组），例如线性方程、非线性方程、微分方程等。详见方程求解帮助文档。
%线性方程：所有未知数都是一次的。可用矩阵形式表示。（用linsolve） syms x y z eqns = [x+y-2*z == 0, x+y+z == 1, 2*y-z == -5]; [A, b] = equationsToMatrix(eqns) %将线性方程转为矩阵形式 X = linsolve(A, b) %linsolve函数的参数是矩阵形式的线性方程 %非线性方程：（用solve函数或vpasolve函数） %--求解析解 syms x y eqns = [2*x^2 + y^2 == 0, 2*x - y == 4]; [solx soly] = solve(eqns, [x y]) %--求数值解 syms x eqn = x^6 - x^2 == 2; s1 = vpasolve(eqn, x) %不指定求解范围 s2 = vpasolve(eqn, x, [-3, 3]) %指定求解范围 %常微分方程：未知函数是一元函数的微分方程称作常微分方程 syms y(t) a b eqn = diff(y, t, 2) == 2 * a^2 * y; %二阶常微分方程 diffY = diff(y, t); cond = [y(0)==b, diffY(0)==1]; %初始条件 ySol(t) = dsolve(eqn, cond)
代码运行结果如下。
4.3 变换
傅里叶变换、拉普拉斯变换以及Z变换是数学中的常用变换，也是对于工科学生很重要的变换。MATLBA为上述变换都提供了相应的函数来实现。下面开始介绍这些函数的简单使用，每个变换的定义不进行说明，详细说明见变换函数的帮助文档。
%傅里叶变换 syms t f = cos(2 * t); f_FT = fourier(f) %傅里叶变换 f_IFT = ifourier(f_FT) %傅里叶逆变换 % fourier(f, y) %指定变换变量，默认是w % fourier(f, t, y) %指定自变量和变换变量，默认自变量可以用symvar查看 %拉普拉斯变换 syms t f = 2 * t; f_LT = laplace(f) %拉普拉斯变换 f_ILT = ilaplace(f_LFT) %拉普拉斯逆变换 % laplace(f, y) %指定变换变量，默认是s % laplace(f, t, y) %指定自变量和变换变量 %Z变换 syms n z f = sin(n); f_ZT = ztrans(f) %Z变换 f_IZT = iztrans(f_ZT) %逆Z变换 % ztrans(f, y) %指定变换变量，默认是z % ztrans(f, t, y) %指定自变量和变换变量
代码运行结果如下。
5. 绘图
对于前面提到的符号表达式、符号方程、符号函数等，MATLBA提供了丰富的绘图函数来绘制它们。这些图可以是2D或3D形式的直线、轮廓线、曲面或网格。甚至，还可以创建动画图。下面展示2D和3D形式的曲线图，更详细说明见绘图帮助文档。
syms x fplot(tan(x) * sin(x)); %2D曲线 syms t xt = exp(-t/10).*sin(5*t); %参数方程 yt = exp(-t/10).*cos(5*t); zt = t; figure fplot3(xt, yt, zt) %3D曲线
代码运行结果如下。
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